Question

已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数．

Answer 1

【答案】分析：（I）设N（x，y）为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线的距离和|NP|进而可得曲线C的方程．
（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|²=|QM|²-|AM|²求得k．
解答：解：（I）设N（x，y）为C上的点，则，
N到直线的距离为．
由题设得，
化简，得曲线C的方程为．

（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．
在Rt△QMA中，因为=，．
所以，
∴，
．
当k=2时，，
从而所求直线l方程为2x-y+2=0．
点评：本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．