Question

【题目】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形,为中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知条件推导出，，由此得到平面，从而能够证明平面．

（2）过点作于点，平面平面，从而得到线段的长度就是点到平面的距离，由此能求出结果．

（3）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）证明：平面，，

又正方形中，，平面，

又平面，，，是的中点，

，平面

（2）过点作于点，由（1）知平面平面，

又平面平面，平面，

线段的长度就是点到平面的距离，

，，

.

（3）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：

，

设平面的法向量为，则，

，令，得到，

又，且平面，

平面的一个法向量为.设二面角的平面角为

则.二面角的余弦值为.