Question

【题目】已知函数，，其中，（）.

（1）若函数有极值，求的值；

（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；

（3）证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）先对函数求导，再对的取值范围讨论来判断函数在上的单调性，进而可得函数在上的极值，利用函数有极值1，即可得的值；（2）由已知得：在上恒成立，进而可得在上恒成立，设，对函数求导，再判断函数在上的单调性，进而可得函数在上的取值范围，即可得的取值范围；（3）由（2）可得，进而可得，代入，化简，即可证.

试题解析：（1）解：∵，

∴1分

①若，则对任意的都有，即函数在上单调递减

函数在上无极值 2分

②若，由得

当时，当时，

即函数在单调递减，在单调递增

∴函数在处有极小值

∴

∴4分

（2）解法1：∵函数=在区间上为减函数且当时，

∴在上恒成立在上恒成立 5分

设，则7分

当时，，

所以在上恒成立，即函数在上单调递减 8分

∴当时，

∴9分

[解法2：∵函数=在区间上为减函数

∴对，（）恒成立 5分

∵

∴

当时，（）式显然成立 6分

当时，（）式 在上恒成立

设，易知在上单调递增 7分

∴

∴ 8分

综上得9分]

（3）证法1：由（2）知，当时，

10分

∵对任意的有

∴

∴12分

∴

即14分

[证法2：先证明当时，

令,则对任意的恒成立 10分

∴函数在区间上单调递减

∴当时，

11分

∵对任意的，

而12分

∴

14分]