Question

【题目】已知函数

(Ⅰ)求函数的图像在点处的切线方程.

(Ⅱ)若且对任意恒成立，求的最大值；

(Ⅲ)当时，证明：

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】

(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，据此可得切线的斜率，然后求解切线方程即可；

(Ⅱ)将原问题转化为函数在给定区间上恒成立的问题，构造新函数，结合函数的单调性和零点存在定理即可确定的最大值；

(Ⅲ)结合(Ⅱ)中证得的函数单调性和不等式的性质得到关于m,n的不等式，对不等式进行整理变形即可证得题中的结论.

(Ⅰ)因为，所以，

函数的图像在点处的切线方程;

(Ⅱ)由题意可知对任意恒成立即对任意恒成立.

令，则，

令,则，

所以函数在上单调递增，

因为,，

所以方程在上存在唯一实根，

且满足.

当时,即，

当时,，即，

所以函数在上单调递减,在上单调递增，所以：

，

所以，故整数的最大值是3.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,是上的增函数，

所以当时,即，

整理得，

因为，故，

所以，

即，

即，

所以.