Question

【题目】已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列，是的前项和，且，.

(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；

(2)设，当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）160；（2）或.

【解析】

试题（I）由等差数列{bn}满足b1=a1=1，S5=15．求出数列的公差后，可得数列的通项公式，结合数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，a9=16，可求出公比，进而求出a50的值；

（Ⅱ）由（1）求出Sn的表达式，利用裂项相消法求出Tn的表达式，进而将不等式恒成立问题，转化为最值问题，利用导数法，可得答案．

试题解析：

(1)设等差数列的公差为，∵，，

∴，.

∴，

设从第3行起，每行的公比都是，且，，，.

，故是数阵中第10行的第5个数.

故.

(2)∵，

∴

；

令，

则

当时，，在上为减函数，

∴为递减数列，的最大值为.

∴不等式变为恒成立，设，，

则，即，解得或.