Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，在数列{b_n}中，b₁=1，它的第n项是数列{a_n}的第b_n-1（n≥2）项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）是否存在常数t使数列{b_n+1}为等比数列？若存在求出t的值，并求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：

1

b1

+ 

1

b2

+ …+

1

bn

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先确定b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2），从而可得b_n+1=2（b_n-1+1），由此可得结论及数列{b_n}的通项公式；
（III）先证明

1

bn+1

＜

1

2bn

，再求和，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由已知，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
n=1时，a₁=S₁=3，也满足上式
∴a_n=2n+1
（Ⅱ）解：由已知b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2）
∴b_n+1=2（b_n-1+1）
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴存在实数t=1使数列{b_n+1}为等比数列，且b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1
（III）证明：∵b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹-1-2（2ⁿ-1）=1＞0，∴b_n+1＞2b_n，
∵b_n=2ⁿ-1≥1，∴

1

bn+1

＜

1

2bn

∴T_n=

1

b1

+ 

1

b2

+ …+

1

bn

＜

1

b1

+ 

1

2b1

+ …+

1

2bn-1

=

1

b1

+ 2(

1

b1

+ …+

1

bn-1

)
即T_n＜

1

b1

+ 2(Tn-

1

bn

)
∴T_n＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

2n-1

＜2

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，恰当放缩是关键．