Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论在上的单调性；

（Ⅱ）设，若的最大值为0，求的值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1

【解析】

（Ⅰ）求导，由，分和两种情况讨论求解.

（Ⅱ），易得是上的减函数，存在唯一正实数满足，，则，再根据的最大值为0建立方程求解.

（Ⅰ）因为，

所以在上单调递减且

①若，即，则当时，，所以在上单调递减；

②若，即，则当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）根据题意所以，

因为，所以在上是减函数，

因为，，当时，，当时，，

所以，即.

因为，，当时，，当时，，

所以，即.

所以，

又因为，，

所以存在唯一正实数满足，即（*）

当时，，是上的增函数；

当时，，是上的减函数；

所以，将（*）式代入整理得，

由题设而，所以，即，

所以，所以.