Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程．

（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；

（2）为曲线上的两点，且，求的面积最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题（1）将曲线的参数方程和直线的极坐标方程化为普通方程，然后利用圆心到直线的距离为半径建立等量关系，求解参数的值；（2）借助极坐标方程中极角的几何意义和三角变换，将的面积公式转化为含有一个角的一个三角函数，利用三角函数的图象探求最值问题.

（Ⅰ）曲线是以为圆心，以为半径的圆；

直线的直角坐标方程为．

由直线与圆只有一个公共点，则可得，

解得： （舍），．

所以：

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，

设的极角为， 的极角为，

则，

所以当时，取得最大值．

的面积最大值.

解法二：因为曲线是以为圆心，以为半径的圆，且

由正弦定理得：，所以．

由余弦定理得，

所以，

所以的面积最大值．