Question

【题目】在正方体中，E是棱的中点.

(1)画出平面与平面的交线；

(2)在棱上是否存在一点F，使得∥平面若存在,指明点F的位置；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析

【解析】

（1）延长与交于点，连接即为所求；（2）存在，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，通过证明EG∥A1B可得四点共面，根据正方体的性质得到B1F∥BG，根据线面平行判定定理即可得结论.

（1）延长与交于点，连接，

由于，∴，，

又∵，∴为面和面的公共点，

同时也为面和面的公共点，

根据公理3可得为平面与平面的交线.

（2）存在，当为的中点时，满足题意，理由如下，如图所示，

分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，

因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，

因此D1C∥A1B，

又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，

这说明A1，B，G，E共面，所以平面A1BE，

由正方体的性质易知B1F∥BG，而平面A1BE，

故B1F∥平面A1BE.