Question

【题目】如图，在四棱柱 中，，，，且．

（Ⅰ）求证：平面 ；

（Ⅱ） 求证： ；

（Ⅲ） 若 ，判断直线 与平面 是否垂直?并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面BCC1B1∥平面ADD1A1,据此结合面面平行的性质即可证得题中的结论；

(Ⅱ)由题意可证得AC⊥平面BB1D,据此证明题中的结论即可；

(Ⅲ)结论：直线B1D与平面ACD1不垂直,利用反证法，假设B1D⊥平面ACD1，结合题意得到矛盾的结论即可说明直线B1D与平面ACD1不垂直.

证明：(Ⅰ)∵AD∥BC,BC平面ADD1A1,AD平面ADD1A1，

∴BC∥平面ADD1A1,

∵CC1∥DD1,CC1平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,

∴CC1∥平面ADD1A1，

又∵BC∩CC1=C，

∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1,

又∵B1C平面BCC1B1，

∴B1C∥平面ADD1A1.

(Ⅱ)∵BB1⊥平面ABCD，AC底面ABCD，∴BB1⊥AC,又∵AC⊥BD,BB1∩BD=B，

∴AC⊥平面BB1D,

又∵B1D底面BB1D，

∴AC⊥B1D;

(Ⅲ)结论：直线B1D与平面ACD1不垂直,

证明：假设B1D⊥平面ACD1，

由AD1平面ACD1,可得B1D⊥AD1,

由棱柱中,BB1⊥底面ABCD,∠BAD=90°，

可得：A1B1⊥AA1,A1B1⊥A1D1，

又∵AA1∩A1D1=A1，

∴A1B1⊥平面AA1D1D，

∴A1B1⊥AD1,

又∵A1B1∩B1D=B1，

∴AD1⊥平面A1B1D，

∴AD1⊥A1D,

这与四边形AA1D1D为矩形,且AD=2AA1矛盾,故直线B1D与平面ACD1不垂直.