Question

【题目】如图，在四边形ABED中，AB//DE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE.

（1）求证：平面PBC 平面DEBC；

（2）求三棱锥P-EBC的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.

（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，

∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，

又BC⊥BE，PC∩BC=C，

∴EB⊥平面PBC，

又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；

（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，

由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得,

∴△PBC为等边三角形， ∴,

∴ .

解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，

由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，

得, ∴△PBC为等边三角形，

取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，

∴ .