Question

【题目】某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形，其中，，圆心在梯形内部，设.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”.

（1）求梯形游泳池的面积关于的函数关系式，并指明定义域；

（2）求当该游泳池为“最佳游泳池”时的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分别取的中点，连接，易知，，，则，.

（2），梯形的周长，设，，求导判断单调性，求其最大值即可.

（1）如图，分别取的中点，连接，

由平面几何得知，，三点共线，且，.

易知，，

且，得

则梯形的面积

（平方百米）， .

（2）易知

由（1）可得梯形的周长（百米）

设，

，由得，

当时，y，单调递增，当时，y，单调递减

所以当，该游泳池的面积与周长之比最大.

即：时、该游泳池为“最佳游泳池”.