Question

【题目】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，为曲线上的动点，与轴、轴的正半轴分别交于，两点.

（1）求线段中点的轨迹的参数方程；

（2）若是（1）中点的轨迹上的动点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）点的轨迹的参数方程为（为参数）；（2）面积的最大值为.

【解析】试题分析：（1）将极坐标方程利用，化为直角坐标方程，利用其参数方程设，则，从而可得线段中点的轨迹的参数方程；（2）由（1）知点的轨迹的普通方程为，直线的方程为.

设，利用点到直线距离公式、三角形面积公式以及辅助角公式，结合三角函数的有界性可得面积的最大值.

试题解析：（1）由的方程可得，又，，

∴的直角坐标方程为，即.

设，则，

∴点的轨迹的参数方程为（为参数）.

（2）由（1）知点的轨迹的普通方程为，，，，所以直线的方程为.

设，则点到的距离为

，

∴面积的最大值为.