Question

【题目】已知为圆上的动点， 的坐标为， 在线段上，满足.

（Ⅰ）求的轨迹的方程.

（Ⅱ）过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设点的坐标为，点的坐标为，由题意结合向量关系可得，据此整理计算可得，则，故点的轨迹的方程为.

(Ⅱ)由题意可得，MN为圆的弦长，结合弦长公式可得原点到直线的距离.分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线的方程为或.

试题解析：

(Ⅰ)设点的坐标为，点的坐标为，

依题意得，即，

所以，解得，

又，所以，即

又，所以点的轨迹的方程为.

(Ⅱ)因为直线与曲线交于两点，且，

所以原点到直线的距离.

若斜率不存在，直线的方程为，此时符合题意；

若斜率存在，设直线的方程为，即，

则原点到直线的距离，解得，

此时直线的方程为

所以直线的方程为或.