Question

【题目】已知函数， ， （其中是自然对数的底数）．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）记函数，其中，若函数在内存在两个极值点，求实数的取值范围；

（3）若对任意， ，且，均有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）先求导数，再根据存在两个极值点条件可得实数的取值范围；（3）设，先根据函数单调性去掉绝对值，再移项构造函数： ， ，最后根据导数研究新函数单调性，由单调性转化不等式恒成立条件，解得实数的取值范围．

试题解析：（1）因为，所以，

因为在点处的切线与直线垂直，

所以，解得．

（2）因为，

所以，

因为，所以当或时， ；当时， ，

所以在区间和单调递增；在单调递减，

即当时， 取极大值，当时， 取极小值，

因为函数在内存在两个极值点，所以．

（3）因为函数在上单调递增，所以，

所以对任意的， ，且恒成立，等价于对任意的， ，且恒成立，等价于对任意的， ，且恒成立，

即对任意， ，且恒成立，

所以在上是单调递增函数，

在上是单调递减函数，

由在上恒成立，

得在恒成立，即在恒成立，

而在上为单调递增函数，且在上取得最小值1，

所以，

由在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

令则，令，得，

因为在上递增，在上单调递减，

所以在上取得最大值，即，

所以实数的取值范围为