Question

【题目】甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，比例系数为（），固定部分为1000元.

（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

【答案】（1），；

（2）当时，，时，时最小.

【解析】

(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为;

(2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论

解：（1）由题意得，全程运输成本

，

（2）因为

所以

当且仅当时取等号，即

① 当时，即时

时，最小

② 当时，即时，在上单调递减

则时，最小