Question

【题目】一胸针图样由等腰三角形及圆心在中轴线上的圆弧构成，已知，.为了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线且长度不小于长度，设.

（1）试求出金丝线的总长度，并求出的取值范围；

（2）当为何值时，金丝线的总长度最小，并求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1），[，)；（2），

【解析】

（1）由题可知，，，从而得出，，在中，根据正弦定理即可求出和，即可金丝线的总长度，再根据长度不小于长度，即可求出的取值范围；

（2）由（1）得且，根据三角函数的图象和性质，即可求出的最小值.

解：（1）∵圆心在中轴线上，，，

∴，，

在中，，，，

根据正弦定理得：，

得，，

∴，

∵长度不小于长度，即，

∴，即，

又，解得：，

∴的取值范围是[，).

（2）由（1）得，，

∴，此时单调递增，

∴当，即时，取得最小值，为，

此时金丝线的总长度最小，最小值为，

∴当时，金丝线的总长度最小，的最小值是.