【题目】某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.
（1）求甲获得奖品的概率；
（2）设
为甲参加游戏的轮数，求
的分布列与数学期望.
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【题目】如图，在四棱锥
中， 
是正三角形， 
是等腰三角形， 
， 
．
（1）求证： 
；
（2）若
， 
，平面
平面
，直线
与平面
所成的角为45°，求二面角
的余弦值．
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【题目】已知椭圆
：
的左、右有顶点分别是
、
，上顶点是
，圆
：
的圆心到直线
的距离是
，且椭圆的右焦点与抛物线
的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）平行于
轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为
、
，直线
、
与
轴的交点记为
，
．试判断
是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．
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【题目】如图，A、B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号.位于B点南偏西60°且与B相距20
海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D的时间和航行方向.
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【题目】某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.
（1）求甲获得奖品的概率；
（2）设
为甲参加游戏的轮数，求
的分布列与数学期望.
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【题目】如图，岛
、
相距
海里．上午9点整有一客轮在岛
的北偏西
且距岛
海里的
处，沿直线方向匀速开往岛
，在岛
停留
分钟后前往
市．上午
测得客轮位于岛
的北偏西
且距岛
海里的
处，此时小张从岛
乘坐速度为
海里/小时的小艇沿直线方向前往
岛换乘客轮去
市．
（Ⅰ）若
，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得
， 
．已知速度为
海里/小时(
)的小艇每小时的总费用为(
)元，若小张由岛
直接乘小艇去
市，则至少需要多少费用？
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【题目】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
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