Question

已知a＞b＞c，求证：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．

Answer 1

分析：本题宜用分析法证．设a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，欲求证：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．即证

1

m

+

1

n

＞

1

m+n

，变形后寻求使之成立的充分条件即可．

解答：证明：设a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，
欲求证：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．
即证

1

m

+

1

n

＞

1

m+n

，
去分母后要证

m+n

m

+

m+n

n

＞1，
只需证1+

n

m

+

m

n

＞ 0，
∵a＞b＞c，∴m＞0，n＞0，1+

n

m

+

m

n

＞ 0成立．
∴原不等式成立．

点评：当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法．