Question

【题目】设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，有下列命题：

（1）关于的方程可能有两个不同的实数解；

（2）关于的方程至少有一个实数解；

（3）关于的方程最多有一个实数解；

（4）关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线；

上述命题正确的序号是__________

Answer 1

【答案】（3）（4）

【解析】

关于的方程，对，以作为一组基底表示平面内的向量，利用平面向量基本定理讨论解的个数．

是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，，以作为一组基底，

则任意向量存在唯一的有序数对使，

关于的方程，即，即，

与一一对应，所以不可能两个实数解，故命题（1）错误；

若，无解，故命题（2）错误；

当时，方程有解，结合（1），方程最多一个解所以（3）正确；

根据平面向量共线定理，平面内有三个不同点共线，O为坐标原点，必存在实数使：，

即，

整理得：，

即三个向量的终点共线，，必有，与矛盾，所以三个向量终点不可能共线，故（4）正确.

故答案为：（3）（4）