Question

【题目】如图所示的多面体中， 菱形， 是矩形， ⊥平面 ， ， .

（Ⅰ）异面直线 与 所成的角余弦值；
（Ⅱ）求证平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）在线段 取一点 ，当二面角 的大小为60°时，求 .

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 就是异面直线 与 所成的角，连接 ，

在 中， ，于是 ，所以异面直线 与 所成的角余弦值为 .

（Ⅱ）取 的中点 .由于 面 ， ，

∴ ，又 是菱形，

是矩形，所以， 是全等三角形，

，所以 ， 就是二面角 的平面角经计算 ，所以 ，即 .

所以平面 平面 .

（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由 ，则

.

平面 的法向量 .

设 ，则

设平面 的法向量 ，则 得

，令 ，则 ，得 .

因为二面角 的大小为60°，

所以 ，

整理得 ，解得

所以 .

【解析】(1)由已知A B / / D C可知 ∠ B A E 就是异面直线 A E 与 D C 所成的角，因此能求出异面直线 A E 与 D C 所成的角，根据题中的已知条件利用余弦定理求出即可。(2)由已知作出辅助线，可推导出∠ A M C 就是二面角 A E F C 的平面角，借助已知的边的关系由勾股定理可得证A M ⊥ M C ，再根据面面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面CEF和平面NEF的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式结合二面角 N E F C 的大小为60°得到关于λ的方程求出其值结合两点间的距离公式即可求出结果。

【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式和平面与平面垂直的判定，需要了解点到直线的距离为：；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．