Question

（1）已知抛物线y²=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：为定值；
（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线 l 交抛物线于A，B两点，存在定点P，使得为定值．请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先讨论出当直线l垂直于x轴时，的值；再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入计算即可得到结论．
（2）先写出类似结论，再根据第一问求的方法即可得到结论．（注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论）．
解答：解：（1）若直线l垂直于x轴，则，.=．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由．…（4分）
∴=x₁x₂+y₁y₂===．
综上，=为定值．…（6分）
（2）关于椭圆有类似的结论：
过椭圆的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆的右焦点F（c，0）（其中）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由得：
所以，．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²）-（m+ck²）+m²+c²k²
=
要使为定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即
此时=m²-a²=…（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c，，．
取点
有==．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点
使=．为定值．…（14分）
点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线综合问题时，常把直线方程与圆锥曲线方程联立．