Question

（1）已知抛物线y²=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：

OA

•

OB

为定值；
（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，存在定点P，使得

PA

•

PB

为定值．请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）先讨论出当直线l垂直于x轴时，

OA

•

OB

的值；再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入

OA

•

OB

计算即可得到结论．
（2）先写出类似结论，再根据第一问求

OA

•

OB

的方法即可得到结论．（注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论）．

解答：解：（1）若直线l垂直于x轴，则A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p).

OA

•

OB

=(

p

2

)2-p2=-

3

4

p2．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为y=k(x-

p

2

)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

?k2x2-p(2+k2)x+

p2

4

k2=0x1+x2=

(2+k2)

k2

p，x1•x2=

p2

4

．…（4分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=(1+k2)x1x2-

p

2

k2(x1+x2)+

p2k2

4

=(1+k2)

p2

4

-

p

2

k2•

(2+k2)p

k2

+

p2k2

4

=-

3

4

p2．
综上，

OA

•

OB

=-

3

4

p2为定值．…（6分）
（2）关于椭圆有类似的结论：
过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使

OA

•

OB

为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点F（c，0）（其中c=

a2-b2

）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

?(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0得：
所以x1+x2=

2a2ck2

a2k2+b2

，x1•x2=

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²）

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

-（m+ck²）

2a2ck2

a2k2+b2

+m²+c²k²
=

(a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2

a2k2+b2

要使

PA

•

PB

为定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即m=

2a4-a2b2-b4

2a2c

=

(2a2+b2)c

2a2

=

(3-e2)c

2

此时

PA

•

PB

=m²-a²=

(2a2+b2)2c2-4a6

4a4

=

b4(c2-4a2)

4a4

…（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c，A(c，

b2

a

)，B(c，-

b2

a

)．
取点P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
有

PA

•

PB

=[

(2a2+b2)c

2a2

-c]2-

b4

a2

=

b4(c2-4a2)

4a4

．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
使

PA

•

PB

=

b4(c2-4a2)

4a4

．为定值．…（14分）

点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线综合问题时，常把直线方程与圆锥曲线方程联立．