Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2 ．
（Ⅰ） 求tan（C﹣ ）的值；
（Ⅱ） 若c= ，求S△ABC的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2 ， a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC= = ，
∵C为△ABC内角，
∴C= ，
则tan（C﹣ ）=tan（ ﹣ ）= =2﹣ ；
（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，
∵S△ABC= absinC= ab，
∴S△ABC≤ ，
当且仅当a=b= 时“=”成立，
则S△ABC的最大值是
【解析】（Ⅰ） 利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C﹣ ）计算即可求出值；（Ⅱ）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正确答案．