Question

【题目】随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n个新农村集结区，，，…，按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上()，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路，两条道路的交汇处安装红绿灯(集结区，，，…，除外)，在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为.

（1）求，；

（2）求，并用数学归纳法证明.

Answer 1

【答案】（1），.（2）答案见解析

【解析】

（1）直接根据图像得到答案.

（2），验证时成立，假设时成立，计算时也成立，得到答案.

（1）如图所示：，

（2），

①，，命题成立；

假设()时，

则时，，，，…，，按逆时针方向排列，依次连结，，……，可增加k条道路，则与凸四边形内部的道路交点为0；

与凸四边形内部的道路交点为；

与凸四边形内部的道路交点为；

依次类推

与凸四边形内部的道路交点为；

则

.

故.