Question

【题目】已知对数函数过定点（其中），函数（其中为的导函数，，为常数）

（1）讨论的单调性；

（2）若对有恒成立，且在（）处的导数相等，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递减；当时在单调递增，在单调递减（2）证明见解析

【解析】

(1)求出的解析式,得到,利用分类讨论法研究的单调性;

(2)根据(1)可知,得到和的解析式,利用求得,结合基本不等式得到,令,则可换元为,最后利用导数求出的最小值即可得证.

(1)令(且),将定点代入解得,

所以,,

所以,(),

当时,在时恒成立,即在单调递减;

当时,,

即在单调递增,在单调递减;

综上所述:当时,在单调递减;

当时在单调递增,在单调递减.

(2)因为,而有恒成立,

所以,

由(1)知必有,

∴,,

,

设,即,∴,

,

∴,

令,,

∴(),

∴在上单调递增,

∴,即.