Question

【题目】从抛物线上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线与曲线E相交于A，B两点，求证：；

（3）若点F为曲线E的焦点，过点的直线与曲线E交于M，N两点，直线，分别与曲线E交于C，D两点，设直线，斜率分别为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

(1)设垂线段的中点为，时抛物线上的点，得出，代入抛物线方程可求出曲线E的方程.
(2)将直线代入抛物线方程，求得，代入直线方程求得，由，即可证明.
(3)设直线：，设，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理的关系得，由M，F，C三点共线，M，F，C三点共线，

利用的坐标表示出的坐标,即可得到答案.

（1）令抛物线上一点，设垂线段的中点为.

由已知得，

∵满足，∴，则，即

∴曲线E的方程为：

（2）由，可得，

设，由于，

由韦达定理可知：，

，

∴，

∴

（3）设，直线：，则

由得

则恒成立，

设

由M，F，C三点共线，得，，化简为：，从而

同理，由N，F，D三点共线，得

所以

所以