Question

已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则

PA

•

PB

取得最小值时的OP的值为（　　）

• A．

  3	2

• B．

  4	2

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：设

PA

与

PO

的夹角为α，将

PA

•

PB

表示成关于tanα的分式函数，令tan²α=x，得

PA

•

PB

=

1-x

x2+x

（x＞0），利用导数研究它的单调性，可得当x=1+

2

时，即tan²α=1+

2

时，

PA

•

PB

有最小值，由此即可算出|

PA

|²=-1+

2

，由勾股定理可算出此时OP的长，从而得到本题答案．

解答：解：设

PA

与

PO

的夹角为α，则|

PA

|=|

PB

|=

1

tanα

∴

PA

•

PB

=

|PA|

•

|PB|

|cos2α|
=

1

tan2α

•cos2α=

1

tan2α

•

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2α

tan2α+tan4α

令tan²α=x，得

PA

•

PB

=

1-x

x2+x

（x＞0）
∵f（x）=

1-x

x2+x

的导数f'（x）=

-(x2+x)-(1-x)(2x+1)

(x2+x)2

=

x2-2x-1

(x2+x)2

∴0＜x＜1+

2

时，f'（x）＜0；x＞1+

2

时，f'（x）＞0
可得f（x）在区间（0，1+

2

）上是减函数，在区间（1+

2

，+∞）上是增函数
∴当x=1+

2

时，即tan²α=1+

2

时，

PA

•

PB

有最小值f（1+

2

）=-3+2

2

此时，|

PA

|²=

1

tan2α

=-1+

2

，可得|OP|=

|OA|2+|PA|2

=

1+(-1+ 2 )

= 4

2

故选：B

点评：本题给出圆外一点P，由P引圆的两条切线，求向量数量积的最小值，着重考查了直线与圆的位置关系、利用导数研究函数的单调性和平面向量数量积的运算等知识，属于中档题．