Question

已知圆O的半径为1，半径OA、OB的夹角为θ（0＜θ＜π），θ为常数，点C为圆O上的动点，若

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，则x+y的最大值为

1

cos θ 2

．

Answer 1

分析：利用向量的模的运算性质与向量的数量积可求得x+y与θ的关系式，利用基本不等式与三角函数的升幂公式及可求得答案．

解答：解：∵圆O的半径为1，半径OA、OB的夹角为θ（0＜θ＜π），点C为圆O上的动点，

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），
∴

OC

2=(x

OA

+y

OB

)2=x²+2xycosθ+y²=1，
∴（x+y）²-2xy+2xycosθ=1，
∴2xy（1-cosθ）=（x+y）²-1，
∵0＜θ＜π，
∴1-cosθ≠0，
∴2xy=

(x+y)2-1

1-cosθ

，不妨令x＞0，y＞0，
则2xy=

(x+y)2-1

1-cosθ

≤2×(

x+y

2

)2，令t=x+y（x＞0，y＞0），
则t²-1≤

1

2

t²（1-cosθ），
整理得：t²≤

2

1+cosθ

=

2

2cos2 θ 2

=

1

cos2 θ 2

，
∴0＜t≤

1

cos θ 2

．
即x+y≤

1

cos θ 2

．
故答案为：

1

cos θ 2

．

点评：本题考查向量的模的运算性质与向量的数量积，着重考查基本不等式与三角函数的升幂公式的应用，考查换元思想与化归思想，属于难题．