Question

【题目】已知点，过点且与轴垂直的直线为， 轴，交于点，直线垂直平分，交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与曲线相切，切点为，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的面积为定值.

【解析】试题分析：

（1）根据抛物线的定义可得点M的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立消元后可得中点．同样设出切线方程，与抛物线方程联立消元后可得切点的坐标为，故得 轴．于是，由此通过计算可证得的面积为定值．

试题解析：

（1）由题意得，

即动点到点的距离和到直线的距离相等，

所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

根据抛物线定义可知点轨迹方程为．

（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，

由消去x整理得 ．

则 ．

设的中点为,

则点．

由条件设切线方程为，

由消去y整理得 ．

∵ 直线与抛物线相切，

∴，

∴ ，

∴切点的横坐标为，

∴ 点．

∴ 轴．

∵，

∴，

∴．

∴，

∵为常数，

∴的面积为定值．