Question

【题目】如图1，梯形中， ， ， ， ， 为中点.将沿翻折到的位置，使，如图2.

（Ⅰ）求证：平面与平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：(1)由题意易知： ， ，所以平面，从而得证；（2）建立空间坐标系，平面的法向量为，代入公式即可求得；（3）利用向量法证明平面，所以三棱锥和三棱锥的体积大小相同.

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为， ， ， 平面

所以平面

因为平面，所以平面平面

（Ⅱ）解：在平面内作，

由平面，建系如图.

则， ， ， ， .,

， ，

设平面的法向量为，则

，即，

令得， ，

所以是平面的一个法向量.

,

所以与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等.

理由如：由， ，

知，则

因为平面，所以平面

故点到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，

所以体积相等.