Question

【题目】点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过坐标原点的直线交轨迹于，两点，轨迹上异于，的点满足直线的斜率为．

（ⅰ）求直线的斜率；

（ⅱ）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C的轨迹方程;

（Ⅱ）（ⅰ）设点，则点,利用点差法即可求解；

（ⅱ）由题意转化为，由弦长公式及点到直线的距离求出，利用二次函数求最值即可.

（Ⅰ）由已知得，两边平方并化简得，

即点的轨迹的方程为：．

（Ⅱ）（ⅰ）设点，则点，满足， ①

设点，满足， ②

由①－②得：，

∵，，

∴．

（ⅱ）∵，关于原点对称，

∴，

设直线，代入曲线化简得：，

设，，由得：，，，

，

点到直线的距离，

∴，

∴，当时，

∴取到最大值．