Question

一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，∠AEF=90°，AE=a，EF=b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为

 

．

Answer 1

分析：令AB=c，由△ABE∽△ECF可得

AB

EC

=

AE

EF

=

a

b

，进而得到BE=c（1-

b

a

），再由勾股定理可得c²=

a4

a2-(a-b)2

，进而代入棱柱体积公式，可得答案．

解答：解：令AB=c
∵∠AEF=90°
∴△ABE∽△ECF
∴

AB

EC

=

AE

EF

=

a

b

∴EC=

bc

a

∴BE=c（1-

b

a

）
且有AB²+BE²=AE²
即c²+c²（1-

b

a

）²=a²
∴c²=

a2

1+(1- b a )2

=

a4

a2-(a-b)2

故正方形ABCD的面积S=

a4

a2-(a-b)2

又∵正四棱柱的高为1，
∴此正四棱柱的体积V=

a4

a2-(a-b)2

故答案为：

a4

a2-(a-b)2

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积公式，其中根据三角形相似得到BE=c（1-

b

a

），进而得到c²=

a4

a2-(a-b)2

是解答的关键．