Question

【题目】已知数列的前项和为，且满足:

(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式.

(2)设，若数列是等差数列，求实数的值；

(3)在(2)的条件下，设 记数列的前项和为，若对任意的存在实数,使得,求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1） 证明过程见解析 （2） （3）

【解析】

（1）由，再得出，两式作差，得出，，再分奇数项，偶数项分别求通项公式即可得解；

（2）由等差数列的等差中项可得恒成立，可得，解得;

（3）由已知有，由裂项求和法求数列前项和得，由分离变量最值法可得，运算即可得解.

解：（1）因为，①

所以，②

②-①得：，

由易得，即，

即，，

即数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，4为公比的等比数列，

当为奇数时，，

当为偶数时，，

综上可得，

又，

故是等比数列，且数列的通项公式.

(2)因为，

所以，

因为数列是等差数列，

所以恒成立，

即有恒成立，

即，

解得;

(3)因为=，

即，

又对任意的存在实数,使得,

即对任意的 恒成立，

又当时，取最小值3，时，，

即,

故实数的最大值为.