Question

【题目】设是由个实数组成的有序数组，满足下列条件：①，；②；③，

.

（Ⅰ）当时，写出满足题设条件的全部；

（Ⅱ）设，其中，求的取值集合；

（Ⅲ）给定正整数，求的个数.

Answer 1

【答案】(1) 详见解析;(2) ; (3)

【解析】试题分析：

(Ⅰ)利用题中所定义的 可得 共有5个可能的值；

(Ⅱ)利用题意逐一交换元素的位置，讨论可得：的取值集合为．

(Ⅲ)利用(II)中的方法结合排列组合相关结论可得给定正整数，求的个数是

试题解析：

（Ⅰ）解：，，，

，，共个．

（Ⅱ）解：首先证明，且．

在③中，令，得．由①得．

由②得．

在③中，令，得，

从而．由①得．

考虑，即，，此时为最大值．

现交换与，使得，此时．

现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次移位．

继续交换与，使得，此时．

现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，执行第2次移位．

依此类推，每次移位的值依次递减．经过有限次移位，一定可以调整为，交替出现．

注意到为奇数，所以为最小值．

所以，的取值集合为．

（Ⅲ）解：由①、②可知，有序数组中，有个，个．

显然，从中选个，其余为的种数共有种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，记该数为．

如果不满足条件③，则一定存在最小的正整数，使得

（ⅰ）； （ⅱ）．

将统统改变符号，

这一对应为：，

从而将变为个，个组成的有序数组．

反之，任何一个个，个组成的有序数组．由于多于的个数，所以一定存在最小的正整数，使得．

令对应为：，

从而将变为个，个组成的有序数组．

因此，就是个，个组成的有序数组的个数．

所以的个数是．