Question

【题目】已知函数，（，为自然对数的底数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意在上总存在两个不同的，使成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，单调递减区间是；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是;（2）.

【解析】

试题分析: （1）首先求出函数的导数,然后根据导数的正负解出不等式得到函数的单调区间;(2)求出函数的导数,由的正负判断函数的单调性并求出函数在上的值域,当时, 不合题意; 当时，判断极值点与端点e的关系,分为时,不合题意;时,在上单调递减，在上单调递增,又在上恒成立, 欲使对任意的在上总存在两个不同的，使成立，则需满足，即.

试题解析:（1），.

1）当，；

2）当，令，；

综上：当时，的单调递减区间是；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）∵，∴，

∴在内递增，在内递减.又∵，，，

∴函数在内的值域为.

由，得.

①当时，，在上单调递减，不合题意；

②当时，令，则；令，则.

i）当，即时，在上单调递减，不合题意；

ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增.

令，，则，

∴在上单调递增，在上单调递减；

∴，即在上恒成立.

令，则，设，，则，

∴在内单调递减，在上单调递增，

∴，即，∴，∴，即.

∴当时， ，

且在上连续.

欲使对任意的在上总存在两个不同的，

使成立，则需满足，即.

又∵，∴，

∴.综上所述，.