Question

【题目】已知函数（为常数）

（1）若，讨论的单调性；

（2）若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析;(2）.

【解析】试题分析：（1）求导得，分， 和 三种情况得单调区间.

(2）依题意，只需,由（1）当时， 在上单调递增， ，

转化为对任意的，不等式恒成立，构造新函数，对讨论求最值即可.

试题解析：（1）

令得

①当时， ，当时， ；当或时， ，此时的单调递增区间为， ，单调递减区间为；

②当时， ， , 在上单调递增；

③当时， ，当时， ；当或时， ，此时的单调递增区间为， ，单调递减区间为

综上所述，当时， 的单调递增区间为， ，单调递减区间为；当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为， ，单调递减区间为.

(2）由（1）可知，当时， 在上单调递增，

∴时， ，依题意，只需

即对任意的，不等式恒成立，

设，则，

∵，∴

①当时，对任意的， ，∴

∴在上单调递增， 恒成立；

②当时，存在使得当时， ，∴，∴单调递减，

∴，∴时， 不能恒成立

综上所述，实数的取值范围是.

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题.求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.