Question

【题目】已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．
（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；
（2）若l1与定圆的另一个交点为P1 ， l2与定圆的另一个交点为P2 ， 求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：l1：﹣y=0，过定点（0，0）， =m；

l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0， =﹣

令y﹣1=0，x﹣2=0．得y=1，x=2，∴过定点（2，1），

∵ =﹣1，∴直线与直线互相垂直，

∴直线与直线的交点必在以（0，0），（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心（1， ），半径r= = ，

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣ ）2= ．

即x2+y2﹣2x﹣y=0；

（2）解：由（1）得：（0，0），（2，1）．当P点在定圆上移动时，△PP1P2的底边P1P2为定值2r．当三角形的高最大时，△PP1P2的面积最大．

故三角形面积最大为 2rr=

又与圆的交点为P（ ， ），且OP与P1P2的夹角是45°．

∴|OP|= = ，即 + = ，解得：m=3或m=

故当m=3或m= 时，△PP1P2的面积取得最大值 ．

【析】（1）联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点M的方程，判断对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．当P点在定圆上移动时，△PP1P2的底边P1P2为定值2r．当三角形的高最大时，△PP1P2的面积最大．