Question

（Ⅰ）已知向量

a

和

b

的夹角是120°，且|

a

|=2，|

b

|=5，则(2

a

-

b

)•

a

=

 

．
（Ⅱ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=n（a_n+1-a_n），则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量

a

和

b

的夹角是120°，且|

a

|=2，|

b

|=5，我们可得

a

2=4，

a

•

b

=-5，将(2

a

-

b

)•

a

展开后，代入

a

2=4，

a

•

b

=-5，即可得到答案．
（Ⅱ）由a_n=n（a_n+1-a_n），则（n+1）a_n=na_n+1，即

an

n

=

an+1

n+1

，我们易得{

an

n

}为常数列，再由a₁=1，我们可得

an

n

=1，进而易求数列{a_n}的通项公式a_n．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

和

b

的夹角是120°，
且|

a

|=2，|

b

|=5，
∴

a

2=4，

a

•

b

=-5，
∴(2

a

-

b

)•

a

=2

a

2-

a

•

b

=8+5=13
故答案为：13
（Ⅱ）∵a_n=n（a_n+1-a_n），
∴（n+1）a_n=na_n+1，
∴

an

n

=

an+1

n+1

，
∴{

an

n

}为常数列，
又∵a₁=1，
∴

an

n

=1，
a_n=n
故答案为：n

点评：（Ⅰ）向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：

a

•

a

=

a

2=|

a

|2，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ
（Ⅱ）要求数列的通项公式，我们要根据已知条件，证明与该数列相关的数列是特殊数列（即等差数列或等比数列），进而得到该数列的通项公式．