Question

设函数
（Ⅰ）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，均有，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）详见试题解析；（Ⅱ）．

解析试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，先写出的表达式：由零点存在定理，只要证明这样在区间内存在零点；再证明在区间内为单调函数，从而在区间内存在唯一的零点；（Ⅱ）当时，对任意的都有在上的最大值与最小值之差再分讨论求的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）时，
在区间内有零点．              2分
在区间内是单调递增函数，               3分
在区间内存在唯一的零点．                         4分
（Ⅱ）当时，对任意的都有在上的最大值与最小值之差据此分类讨论如下：        6分
（1）当即时，与题设矛盾；          8分
（2）当即时，恒成立；    10分
（3）当即时，恒成立；
综上所述．                                12分
注意：（2）（3）也可合并证明如下：用表示中的较大者，当即时，恒成立．
考点：1．零点存在定理；2．利用导数解决函数的单调性；3．恒成立问题中的参数取值范围问题．