Question

【题目】已知.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）由函数的解析式求得函数的定义域，再求出，分类讨论的范围，求得的符号，从而求得函数的单调区间.
（2）利用导数求得在区间单调递减，可得当时，有，再用放缩法证得，从而证得要证的不等式成立.

（1）的定义域为，

.

令，可得或.

当时，，由得，由得，

由此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，，由得，由得，

由此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，，由得，由得或，由此可得的单调递增区间为，

单调递减区间为，.

当时，，可得，故的单调递减区间为.

当时，，由得，

由得或，由此可得的单调递增区间为，

单调递减区间为，；

（2）当时，由（1）得在区间单调递减，

由此可得当时，即.

令，则，

从而

，

由此得，.