Question

【题目】已知函数f（x）=lnx（x＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥1﹣ ；
（Ⅱ）设g（x）=x2f（x），且关于x的方程x2f（x）=m有两个不等的实根x1 ， x2（x1＜x2）．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）求证：x1x22＜ ．
（参考数据：e=2.718， ≈0.960， ≈1.124， ≈0.769，ln2≈0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能会选取不同的数据）

Answer 1

【答案】解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣1+ =lnx﹣1+ ，（x＞0）． h′（x）= = ，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，
h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥1﹣ 成立；
（Ⅱ）g（x）=x2f（x）=x2lnx，（x＞0）
（i）g′（x）=x（2lnx+1），令g′（x）=0，得x= ．
x ）时，g′（x）＜0，x 时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0， ）递减，在（ 递增，
g（x）min=g（ ）=﹣ ，且x→0，时g（x）→0，g（1）=0．
g（x）的图象如下：

要使关于x的方程x2f（x）=m有两个不等的实根x1 ， x2（x1＜x2）．
实数m的取值范围为：（﹣ ，0）．
（ii）证明：由（i）方程f（x）=m（m＜﹣2）的两个相异实根x1 ， x2 ， 满足 0＜x1＜ ＜x2＜1，
令F（x）=x2lnx﹣m，则有F（x1）═f（x2）
构造函数G（x）=F（x）﹣F（ ）=x2lnx﹣ ，（ ＜x＜1），
G′（x）＞0，且G（ ）＞0，
∴ 在 ＜x＜1时恒成立，
则有F（x1）=F（x2） ，且x1 ， ∈（0， ）
由（i）知F（x）在（0， ）递减，∴ ，
∴x1x22＜
【解析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣1+ =lnx﹣1+ ，（x＞0）．确定函数h（x）单调性及最值即可．（Ⅱ）g（x）=x2f（x）=x2lnx，（x＞0） （i）g′（x）=x（2lnx+1），确定g（x）的单调性，画出g（x）的图象，即可求出实数m的取值范围．（ii）由（i）方程f（x）=m（m＜﹣2）的两个相异实根x1 ， x2 ， 满足 0＜x1＜ ＜x2＜1，令F（x）=x2lnx﹣m，则有F（x1）═f（x2）
构造函数G（x）=F（x）﹣F（ ）=x2lnx﹣ ，（ ＜x＜1），
利用导数得F（x1）=F（x2） ，且x1 ， ∈（0， ），即可证明x1x22＜ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．