Question

【题目】设函数f（x）= 与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0 ， y0）处的切线相同、 f′（x）=3x﹣2a，g′（x）= ，
由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=
由3x0﹣2a= 得x0=a或x0=﹣ a（舍去），
即有b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣ a2﹣a2lna．
令h（t）=﹣ t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），
于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜ 时，h′（t）＞0；
当2t（1+lnt）＜0，即t＞ 时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0， ）为增函数，在（ ，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（ ）= ，
故b的最大值为 ．
故选A．