Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx． （Ⅰ） 若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ） 若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，

令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，h′（x）=2x+1﹣ =

= ，x＞0，

当x＞ 时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜ 时，h′（x）＜0，h（x）递减．

可得h（x）在x= 处取得极小值，且为最小值，且h（ ）= + ﹣ln ＞0，

即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；

（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），

f（x）=ax2+bx的导数为f′（x）=2ax+b，

g（x）=lnx的导数为g′（x）= ，

可得2am+b= ，且n=am2+bm=lnm，

消去b，可得am2+1﹣2am2=lnm，

可得a= （m＞0），

令u（m）= （m＞0），

则u′（m）= ，

当m＞e 时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜e 时，u′（m）＜0，u（m）递减．

可得u（m）在m=e 处取得极小值，且为最小值，且u（e ）= =﹣ ，

则a≥﹣ ，

故a的取值范围是[﹣ ，+∞）

【解析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b= ，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a= （m＞0），令u（m）= （m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．