Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若底面ABCD为正方形， ，求二面角C﹣AF﹣D大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，

∵四边形ABCD为矩形，∴O是BD的中点，

∵点E是棱PD的中点，∴PB∥EO，

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（Ⅱ）由题可知AB，AD，AP两两垂直，

分别以 、 、 的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系．

设由 可得AP=AB，

于是可令AP=AB=AD=2，则

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）

设平面CAF的一个法向量为 ．由于 ，

∴ ，解得x=﹣1，所以 ．

∵y轴平面DAF，∴设平面DAF的一个法向量为 ．

∵ ，∴ ，解得z=﹣1，

∴ ．

∴ ．∴二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．

【解析】（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，推导出PB∥EO，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）分别以 、 、 的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣D的大小．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．