Question

【题目】已知椭圆：经过，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，，且与圆心为的定圆相切.直线：（）与圆交于两点，.求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和离心率的定义即可求出椭圆C的方程，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程为y=kx+m，根据韦达定理，可得5m2=k2+1，再根据点到直线的距离公式分别求出|MN|=2，G到直线l′的距离为，结合三角形的面积公式和基本不等式即可求出答案.

解析：

（1）因为经过点，所以，

又椭圆的离心率为，所以

所以椭圆的方程为.

（2）设设，的方程为

由，得，

所以

因为，

所以

整理得，

所以到的距离为，

所以直线恒与定圆相切，即圆的方程为

又到的距离为，所以，且，所以，

因为到的距离为，

所以

，当且仅当即时取“=”

所以面积的最大值为.