Question

18.（乙）如图，已知平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，

且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝.

（Ⅰ）证明：C₁C⊥BD；

 

（Ⅱ）假定CD＝2，CC₁＝，记面C₁BD为，面CBD为，求二面角－BD－的平面角的余弦值；

 

（Ⅲ）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

Answer 1

18.（乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.

（Ⅰ）证明：连结A₁C₁、AC，AC和BD交于O，连结C₁O.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC＝CD.

又∵∠BCC₁＝∠DCC₁，C₁C＝C₁C，

∴△C₁BC≌△C₁DC，

∴C₁B＝C₁D，

∵DO＝OB，

∴C₁O⊥BD，                                                   

但，AC⊥BD，AC∩C₁O＝O，

∴BD⊥平面AC₁.

又C₁C平面AC₁，

∴C₁C⊥BD.                                               

 

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴∠C₁OC是二面角α—BD—β的平面角.

 

在△C₁BC中，BC＝2，C₁C＝，∠BCC₁＝60°，

 

∴C₁B²＝2²＋－2×2××cos60°＝.     

∵∠OCB=30°，

∴OB＝BC＝1.

 

∴C₁O²＝C₁B²－OB²＝－1＝，

 

∴C₁O＝即C₁O＝C₁C.

 

作C₁H⊥OC，垂足为H.

∴点H是OC的中点，且OH＝，

 

所以　cos∠C₁OC＝＝.                                  

 

（Ⅲ）当＝1时，能使A₁C⊥平面C₁BD.

 

证明一：∵＝1

 

∴BC＝CD＝C₁C，

又∠BCD＝∠C₁CB＝∠C₁CD，

由此可推得BD＝C₁B＝C₁D.

∴三棱锥C—C₁BD是正三棱锥.                                   

设A₁C与C₁O相交于G.

∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁︰OC＝2︰1，

∴C₁G︰GO＝2︰1.

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴点G是正三角形C₁BD的中心，

∴CG⊥平面C₁BD.

即　A₁C⊥平面C₁BD.                                           

 

证明二：由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC₁，

∵A₁C平面AC₁，∴BD⊥A₁C.                                    　

 

当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

 

同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C.

又　BD∩BC₁＝B，

∴A₁C⊥平面C₁BD.                                                     

 

【参考解法】（Ⅲ）

答：当＝1时，能使A₁C⊥平面C₁BD.

 

证明：∵∴BC＝CD＝C₁C

 

又∠BCD＝∠C₁CB＝∠C₁CD

∴△CDC₁≌△CBC₁≌△CDB

∴BC₁＝C₁D＝BD

在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

BC＝CD＝CC₁，∠BCD＝∠C₁CB＝∠C₁CD＝

且ABCD是菱形，

∴它的六个面均是全等的菱形

∴A₁C₁＝A₁D＝A₁B

∴三棱锥A₁－C₁BD是正三棱锥

∴它的高A₁G的垂足G是正三角形BDC₁的中心，即A₁G⊥底面BDC₁于G

又三棱锥C－C₁BD是正三棱锥

∴它的高CG的垂足也是正三角形BDC₁的中心，即CG⊥底面BDC₁于G，

∵A₁G⊥底面BDC₁于G，CG⊥底面BDC₁于G，

∴直线A₁G和直线CG重合，即A₁、G、C共线，

∴A₁C⊥平面C₁BD.