Question

8．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M在棱BB₁上，两条直线MA，MC与平面ABCD所成角均为θ，AC与BD交于点O．
（1）求证：AC⊥OM；
（2）当AB=BM=$\frac{1}{2}$BB₁=1时，求点D₁到平面AMC的距离．

Answer 1

分析 （1）MB⊥平面ABCD，可得∠MAB，∠MCB分别为直线MA、MC与平面ABCD所成的角，∠MAB=∠MCB=θ，可得AB=BC，因此四边形ABCD为正方形，AC⊥BD．又MB⊥平面ABCD，可得AC⊥平面BDD₁B₁．即可证明AC⊥OM．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．利用点D₁到平面AMC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：∵MB⊥平面ABCD，∴BA、BC分别为MA、MC在平面ABCD内的射影．
则∠MAB，∠MCB分别为直线MA、MC与平面ABCD所成的角，
故∠MAB=∠MCB=θ，∴AB=$\frac{MB}{tanθ}$=BC，
∴四边形ABCD为正方形．
∴AC⊥BD．又MB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MB⊥AC，而MB∩BD=B，故AC⊥平面BDD₁B₁．
而OM?平面BDD₁B₁．∴AC⊥OM．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
M（1，1，1）．
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
设平面AMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．
∴点D₁到平面AMC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间线面、面面位置关系、空间角与空间距离、法向量的应用、数量积运算性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．