【题目】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是
与
，的左顶点为
与
轴平行的直线与椭圆交于
、
两点，过、两点且分别与直线
、
垂直的直线相交于点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
；（3）
.
【解析】
（1）根据椭圆的性质可以由椭圆
：
上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是
与
得到两个方程，解方程即可求出椭圆的标准方程；
（2）设
，
，显然直线
，
，
，
的斜率都存在，设为
，
，
，
，求出它们的表达式，求出直线，的方程，消去
，最后可以证明点
在一条定直线上运动；
（3）由（2）得点的纵坐标，求出
的表达式，再利用均值不等式求出面积的最大值.
（1）因为椭圆：上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是与，所以有
，
的标准方程为.
（2）设，，显然直线，，，的斜率都存在，设为，，，，则
，
，
，
，所以直线，的方程为：
，
，消去得
，化简得，故点在定直线上运动.
（3）由（2）得点的纵坐标为
，
又
，所以
，则
，
所以点到直线
的距离
为
，
将
代入得
，
所以面积
，当且仅当
，即
时等号成立，故时，面积的最大值为.
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，
.
（1）当
时，试讨论方程
的解的个数；
（2）若曲线
和
上分别存在点
，
，使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
，
，
为棱
的中点.
（1）证明：
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）设点
在线段
上，且直线
与平面
所成角的正弦值是
，求线段的长.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
，点
满足
，记点的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
，且与轨迹相交于
两点.
（1）求轨迹的方程；
（2）求斜率的取值范围；
（3）在
轴上是否存在定点
，使得无论直线绕点怎样转动，总有
成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，正三角形
的边长为
，
、
、
分别为各边的中点，将△沿
、
、
折叠，使
、
、
三点重合，构成三棱锥
．
(1)求平面
与底面
所成二面角的余弦值；
(2)设点
、
分别在
、上，
(
为变量) ；
①当
为何值时，
为异面直线与的公垂线段? 请证明你的结论
②设异面直线与
所成的角为
，异面直线与所成的角为
，试求
的值．
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