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    【题目】平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）已知点P的极坐标为，Q为曲线上的动点，求的中点M到曲线的距离的最大值.

    【答案】（1），.（2）

    【解析】

    （1）化简得到，再考虑，利用极坐标方程公式得到答案.

    （2）P的直角坐标为，设点，故，代入圆方程得到M在圆心为，半径为1的圆上，计算得到最大距离.

    （1）因为，所以3×①+4×②，得.

    又，

    所以的普通方程为，

    将，代入曲线的极坐标方程，得曲线的直角坐标方程为.

    （2）由点P的极坐标，可得点P的直角坐标为.

    设点，因为M为的中点，所以

    将Q代入的直角坐标方程得，

    即M在圆心为，半径为1的圆上.

    所以点M到曲线距离的最大值为，

    由（1）知不过点，且，

    即直线与不垂直.

    综上知，M到曲线的距离的最大值为.

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    （2）求直线与平面所成角的正弦值.

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    （2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．

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    表1

    甲公司

    得分

    [50，60）

    [60，70）

    [70，80）

    [80，90）

    [90，100]

    件数

    10

    10

    40

    40

    50

    天数

    10

    10

    10

    10

    80

    表2

    甲公司

    得分

    [50，60）

    [60，70）

    [70，80）

    [80，90）

    [90，100]

    件数

    10

    5

    40

    45

    50

    天数

    20

    10

    20

    10

    70

    表3

    每件正品

    每件次品

    甲公司

    盈2万元

    亏3万元

    乙公司

    盈3万元

    亏3.5万元

    （1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）.

    （2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.

    （3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望.

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    【题目】平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）已知点P的极坐标为，Q为曲线上的动点，求的中点M到曲线的距离的最大值.

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    【题目】如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

    （1）证明：平面；

    （2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.

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    （1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；

    （2）若射线：与圆的交点为O、P，与圆的交点为O、Q，求的最大值.

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